(Ⅰ)取AC的中点0,连结OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥OB. 又∵平面SAC⊥平面ABC,且平面SAC∩ABC=AC, ∴SO⊥平面ABC. 以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示 可得A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2), M(1,,0),N(0,,). ∴=(-4,0,0),=(0,2,-2). ∴•=-4×0+0×2+0×(-2)=0, 可得⊥,即AC⊥SB; (Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(-1,0,) 设=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,, 取z=1,得x=,y=-,所以=(,-,1). 又∵=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量, ∴cos<,>===, 可得sin<,>==,tan<,>=2, 即二面角二面角N-CM-B的正切值为2. |