在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;(2)求二面角E-AF-B的余弦值.
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在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;(2)求二面角E-AF-B的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别为A
1
B
1
,CD的中点.
(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;
(2)求二面角E-AF-B的余弦值.
答案
(1)建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
∴
AF
=(-2,1,0)
,
CE
=(2,-1,2)
.
∴
cos<
AF,
CE
>=
-4-1
(-2)
2
+
1
2
•
2
2
+
(-1)
2
+
2
2
=-
5
3
,
故直线EC与AF所成角的余弦值为
5
3
.
(2)平面ABCD的一个法向量为
n
1
=(0,0,1)
.
设平面AEF的一个法向量为
n
2
=(x,y,z)
,
∵
AF
=(-2,1,0)
,
AE
=(0,1,2)
,∴
-2x+y=0
y+2z=0
,
令x=1,则y=2,z=-1
⇒
n
2
=(1,2,-1)
,
∴
cosθ=|
n
1
•
n
2
|
n
1
||
n
2
|
|=|
-1
1+4+1
|=
6
6
.
由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为
6
6
.
举一反三
如图,四棱锥S-ABCD的正视图是边长为2的正方形,侧视图和俯视图是全等的等腰三角形,直线边长为2.
(1)求二面角C-SB-A的大小;
(2)P为棱SB上的点,当SP的长为何值时,CP⊥SA?
题型:不详
难度:
|
查看答案
底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中,
AB=
3
,BC=1,PA=2,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PD的中点
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离.
题型:不详
难度:
|
查看答案
长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=2,AD=1,AA
1
=
2
,E、F分别是AB、CD的中点
(1)求证:D
1
E⊥平面AB
1
F;
(2)求直线AB与平面AB
1
F所成的角;
(3)求二面角A-B
1
F-B的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,己知平行四边形1BCD中,∠B1D=6三°,1B=6,1D=3,G为CD中点,现将梯形1BCG沿着1G折起到1FoG.
(1)求证:直线Co
∥
平面1BF;
(2)如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面边长是2,侧棱长是
3
,D是AC的中点.
(Ⅰ)求证:B
1
C
∥
平面A
1
BD;
(Ⅱ)求二面角A
1
-BD-A的大小;
(Ⅲ)求点A到平面A
1
BD的距离.
题型:不详
难度:
|
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