(Ⅰ)证明:设AB1与A1B相交于点P,连接PD, 则P为AB1中点, ∵D为AC中点, ∴PD∥B1C. 又∵PD⊂平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD.…(4分) (Ⅱ)解法一:由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点, 知BD⊥AC, 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC, ∴BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1D, 故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角, 又AD⊥A1A,A1A=,AD=1, ∴∠A1DA=60°,即二面角A1-BD-A的大小为60°.…(8分) (Ⅱ)解法二:如图建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,), B(0,,0),B1(0,,), ∴=(-1,,-),=(-1,0,-), 设平面A1BD的法向量为=(x,y,z), 则•=-x+y-z=0, •=-x-z=0 则有,令z=1,得=(-,0,1) 由题意,知=(0,0,)是平面ABD的一个法向量. 设与所成角为θ, 则cosθ==,∴θ=, ∴二面角A1-BD-A的大小是…(8分) (Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知BD⊥AC、BD⊥A1D, 设点A到平面A1BD的距离为d, ∴VA1-ABD=S△ABD•A1A=VA-A1BD=S△A1BD•d, 故S△ABD•A1A=××1×× =S△A1BD•d=××××d 解得:d=, 即点A到平面A1BD的距离为d=.…(12分) (Ⅲ)解法二:由(Ⅱ)已知, 得=(1,0,0),=(-,0,1) 则d== 即点A到平面A1BD的距离为d=.…(12分)
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