底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中,AB=3,BC=1,PA=2,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PD的中点(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面

底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中,AB=3,BC=1,PA=2,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PD的中点(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面

题型:不详难度:来源:
底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中,AB=


3
,BC=1,PA=2,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PD的中点
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离.
答案
(1)以A为原点,AB、AD、AP分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系如图所示
可得B(


3
,0,0)
C(


3
,1,0)
D(0,1,0)、
P(0,0,2)、E(0,
1
2
,1)

从而


AC
=(


3
,1,0),


PB
=(


3
,0,-2)



AC


PB
的夹角为θ,则
cosθ=


AC


PB
|


AC
|•|


PB
|
=
3
2


7
=
3


7
14

∴AC与PB所成角的余弦值为
3


7
14

(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),


NE
=(-x,
1
2
,1-z)

由NE⊥面PAC可得,







NE


AP
=0


NE


AC
=0
,即





(-x,
1
2
,1-z)•(0,0,2)=0
(-x,
1
2
,1-z)•(


3
,1,0)=0

化简得





z-1=0
-


3
x+
1
2
=0
,即





x=


3
6
z=1
,可得N点的坐标为(


3
6
,0,1)

从而侧面PAB内存在点N,使NE⊥面PAC,N点到AB和AP的距离分别为1,


3
6
举一反三
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=


2
,E、F分别是AB、CD的中点
(1)求证:D1E⊥平面AB1F;
(2)求直线AB与平面AB1F所成的角;
(3)求二面角A-B1F-B的大小.
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如图,己知平行四边形1BCD中,∠B1D=6三°,1B=6,1D=3,G为CD中点,现将梯形1BCG沿着1G折起到1FoG.
(1)求证:直线Co平面1BF;
(2)如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值.
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如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是


3
,D是AC的中点.
(Ⅰ)求证:B1C平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-A的大小;
(Ⅲ)求点A到平面A1BD的距离.
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=


3
,AD=2


2
,P为C1D1的中点,M为BC的中点.
(Ⅰ)证明:AM⊥PM;
(Ⅱ)求AD与平面AMP所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-AM-D的大小.
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在直角梯形PBCD中,∠D=∠C=
π
2
,BC=CD=2,PD=4
,A为PD的中点,如图.将△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,点E在SD上,且


SE
=
1
3


SD
,如图.
(Ⅰ)求证:SA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角E-AC-D的正切值.
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