在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；（2）求异面直

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在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．
（1）求AC₁的长；
（2）求异面直线AC₁与A₁B所成角的余弦值．

答案

（1）∵

AC1

=

AB

+

AD

+

AA1

，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．
∴

AC1

2=1+4+9+2•1•2•cos90°+2•1•3•cos60°+2•2•3•cos60°=23
∴|

AC1

|=

23

；
（2）∵

A1B

=

AB

-

AA1

，

AC1

=

AB

+

AD

+

AA1

，
∴

A1B

•

AC1

=(

AB

-

AA1

)•（

AB

+

AD

+

AA1

）=

AB

2+

AB

•

AA1

-

AA1

•

AB

-

AA1

•

AD

-

AA1

2=1-3-9=-11
∵

A1B

2=(

AB

-

AA1

)2=1+9-3=7，∴|

A1B

|=

7

∴cos＜

AC1

，

A1B

＞=

AC1 • A1B

| AC1 || A1B |

=

-11

23 × 7

=

-11 161

161

∴异面直线AC₁与A₁B所成角的余弦值为

11 161

161

．