如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2.(Ⅰ)求证:AD⊥平面PQB;(Ⅱ)点M在线段PC上,

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2.(Ⅰ)求证:AD⊥平面PQB;(Ⅱ)点M在线段PC上,

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2.
(Ⅰ)求证:AD⊥平面PQB;
(Ⅱ)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA平面MQB;
(Ⅲ)若PA平面MQB,平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大小.
答案
(Ⅰ)证明:连接BD.
因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.
又Q为AD中点,所以AD⊥BQ.
因为PA=PD,Q为AD的中点,所以AD⊥PQ.
又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB.
(Ⅱ)当t=
1
3
时,PA平面MQB.
下面证明:连接AC交BQ于N,连接MN.
因为AQBC,所以
AN
NC
=
AQ
BC
=
1
2

因为PA平面MQB,PA⊂平面PAC,平面MQB∩平面PAC=MN,
所以MNPA,
所以
PM
MC
=
AN
NC
=
1
2
,所以PM=
1
3
PC
,即t=
1
3
.(9分)
(Ⅲ)因为PQ⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,所以PQ⊥平面ABCD.
以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz.
由PA=PD=AD=2,则有A(1,0,0),B(0,


3
,0)
P(0,0,


3
)

设平面MQB的法向量为


n
=(x,y,z),由


PA
=(1,0,-


3
)


QB
=(0,


3
,0)


n


PA


n


QB
,可得





x-


3
z=0


3
y=0

令z=1,得x=


3
,y=0

所以


n
=(


3
,0,1)
为平面MQB的一个法向量.
取平面ABCD的法向量


m
=(0,0,1),
cos<


m


n
>=


m


n
|


m
||


n
|
=
1
2×1
=
1
2
,故二面角M-BQ-C的大小为60°.
举一反三
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点
(1)求证:D1B1⊥AE;
(2)求D1B1与平面ABE所成角θ的正弦值.
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如图,矩形ABCD中,BC=2,AB=1,PA丄平面ABCD,BEPA,BE=
1
2
PA
,F为PA的中点.
(I)求证:DF平面PEC
(II)若PE=


2
,求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.
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[理]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点,


HC1
={2m,-2m,-m}(m<0)

(1)证明HC1⊥平面EDB;
(2)求BC1与平面EDB所成的角;
(3)若正方体的棱长为a,求三棱锥A-EDB的体积.
[文]若数列{an}的通项公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)
,记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
(1)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(2)由(1)推测f(n)的表达式;
(3)证明(2)中你的结论.
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,点E在棱CD上,且CE=
1
3
CD

(1)求证:AD1⊥平面A1B1D;
(2)在棱AA1上是否存在点P,使DP平面B1AE?若存在,求出线段AP的长;若不存在,请说明理由;
(3)若二面角A-B1E-A1的余弦值为


30
6
,求棱AB的长.
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已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.
(Ⅰ)求DH与CC′所成角的大小;
(Ⅱ)求DH与平面AA′D′D所成角的大小.
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