已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.(Ⅰ)求DH与CC′所成角的大小;(Ⅱ)求DH与平面AA′D′D所成角的大小.
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已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.(Ⅰ)求DH与CC′所成角的大小;(Ⅱ)求DH与平面AA′D′D所成角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.
(Ⅰ)求DH与CC′所成角的大小;
(Ⅱ)求DH与平面AA′D′D所成角的大小.
答案
(Ⅰ)建立如图所示的坐标系,设H(m,m,1)(m>0),则
DA
=(1,0,0),
CC′
=(0,0,1),连接BD,B′D′.
则
DH
=(m,m,1)(m>0),
由已知
<
DA
,
DH
>
=60°,根据
DA
•
DH
=|
DA
||
DH
|cos<
DA
,
DH
>
,可得2m=
2
m
2
+1
,解得m=
2
2
,
∴
DH
=(
2
2
,
2
2
,1),
∴cos
<
DA
,
CC′
>
=
2
2
,
∴
<
DA
,
CC′
>
=45°,即DH与CC′所成角的大小为45°;
(Ⅱ)平面AA′D′D的一个法向量为
DC
=(0,1,0),
∴
cos<
DH
,
DC
>=
0+
2
2
+0
2
=
1
2
,
∴
<
DH
,
DC
>
=60°,
∴DH与平面AA′D′D所成角的大小为30°.
举一反三
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB
∥
CD,AD⊥AB,AD=AB=
1
2
CD=1,PD⊥面ABCD,PD=
2
,E是PC的中点
(1)证明:BE
∥
面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.
题型:不详
难度:
|
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直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=5,AC=4,BC=3,AA
1
=4,点D在AB上.
(Ⅰ)求证:AC⊥B
1
C;
(Ⅱ)若D是AB中点,求证:AC
1
∥
平面B
1
CD;
(Ⅲ)当
BD
AB
=
1
3
时,求二面角B-CD-B
1
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=
2
3
,E为PC的中点.
(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小;
(2)求C点到平面PBD的距离.
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=4,BC=2,CC
1
=3,
CE
=2
E
C
1
(1)求点D
1
到平面BDE的距离;
(2)求直线A
1
B与平面BDE所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC
1
的中点,AE交A
1
D于点H.
(1)求证:AE⊥平面A
1
BD;
(2)求二面角D-BA
1
-A的大小(用反三角函数表示)
(3)求点B
1
到平面A
1
BD的距离.
题型:不详
难度:
|
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