如图,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1的中点,AE交A1D于点H.(1)求证:AE⊥平面A1BD;(2)求二面角D-B

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1的中点,AE交A1D于点H.(1)求证:AE⊥平面A1BD;(2)求二面角D-B

题型:不详难度:来源:
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1的中点,AE交A1D于点H.
(1)求证:AE⊥平面A1BD;
(2)求二面角D-BA1-A的大小(用反三角函数表示)
(3)求点B1到平面A1BD的距离.
答案
(1)证明:以DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(-1,0,0)
E(-1,-1,0)A1(1,-2,0)C1(-1,-2,0)B (0,0,


3



AE
=(-2,-1,0)


A1D
=(-1,2,0)


BD
=(0.0,-


3




AE


A1D
=2-2+0=0


AE


BD
=0,∴∴


AE


A1D


AE


BD

即AE⊥A1D,AE⊥BD,又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
(2)设面DA1B的法向量为


n1
=(x1,y1,z1)由


n1


A1D
=0,


n1


BD
=0






-x1+2y1=0
z1(-


3
)=0


n1
=(2,1,0)
设面BA1A的法向量为


n2=
(x2y2z2)

同理由


n2


A1B
=0,


n2


A1A
=0

解得


n2
=(3.0,


3
),
cos<


n1


n2
>=
6


5
×


12
=


15
5

由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角,所以它的大小为arccos


15
5

(3)


B1B
=(0,2,0)平面A1BD的法向量取


n1
=(2,1,0)
则点B1到平面A1BD的距离d=|


B1B


n1
|


n1
|
|=
2


5
=
2


5
5
举一反三
如图,ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,AA1⊥底面ABCD,ABCD,AB⊥AD,AD=CD=AA1=1,AB=2.
(1)求证:A1C1⊥平面BCC1B1
(2)求平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=2AB.(1)求证:BD⊥PC;
(2)求三棱锥A-PCD的体积;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A1A,∠BAA1=60°
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,且AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tanθ的值为(  )
A.2B.
1
2
C.


2
D.


2
2

题型:不详难度:| 查看答案
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
1
2
AB=1,N为AB上一点,AB=4AN,M、S分别为PB、BC的中点.
(Ⅰ)求证:CM⊥SN;
(Ⅱ)求二面角P-CB-A的余弦值;
(Ⅲ)求直线SN与平面CMN所成角的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
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