如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tan

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tan

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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tanθ的值为(  )
A.2B.
1
2
C.


2
D.


2
2

答案
在Rt△PAB中,PA=AB=2,∴PB=2


2

∵AE⊥PB,∴AE=
1
2
PB=


2
,∴PE=BE=


2

∵PA⊥底面ABC,得PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC,可得AF⊥BC
∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC
∵PB⊂平面PBC,∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A,∴PB⊥面AEF,
结合EF⊂平面AEF,可得PB⊥EF.
Rt△PEF中,∠EPF=θ,可得EF=PE•tanθ=


2
tanθ,
∵AF⊥平面PBC,EF⊂平面PBC.∴AF⊥EF.
∴Rt△AEF中,AF=


AE2-EF2
=


2-2tan2θ

∴S△AEF=
1
2
AF•EF=
1
2
×


2
tanθ×


2-2tan2θ
=


-(tan2θ-
1
2
)2+
1
4

∴当tan2θ=
1
2
,即tanθ=


2
2
时,S△AEF有最大值为
1
2

故选:D
举一反三
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
1
2
AB=1,N为AB上一点,AB=4AN,M、S分别为PB、BC的中点.
(Ⅰ)求证:CM⊥SN;
(Ⅱ)求二面角P-CB-A的余弦值;
(Ⅲ)求直线SN与平面CMN所成角的大小.
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四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD⊥底面ABCD,∠BCD=60°,PA=PD=


2
,E是BC中点,点Q在侧棱PC上.
(Ⅰ)求证:AD⊥PB;
(Ⅱ)若Q是PC中点,求二面角E-DQ-C的余弦值;
(Ⅲ)若
PQ
PC
,当PA平面DEQ时,求λ的值.
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如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
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如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.
(1)设PD的中点为M,求证:AM平面PBC;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点,E为BC1的中点
(1)求证:OE平面A1AB;
(2)求二面角A-A1B-C1的正弦值.
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