如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;(2)求点A到面A1BC1的距离.

如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;(2)求点A到面A1BC1的距离.

题型:不详难度:来源:
如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
答案
分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为1,
∴B1(1,0,1),D(0,1,0),


B1D
=(-1,1,-1),
∵A1(0,0,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),


A1B
=(1,0,-1),


A1C1
=(1,1,0),
设平面A1BC1的法向量


n
=(x,y,z),则


n


A1B
=0


n


A1C1
=0,





x-z=0
x+y=0
,解得


n
=(1,-1,1),
设直线B1D与平面A1BC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<


n


B1D
>|=|
-1-1-1


3


3
|=1,
∴直线B1D与平面A1BC1所成的角为90°.
(2)∵


AA1
=(0,0,1),平面A1BC1的法向量


n
=(1,-1,1),
∴点A到面A1BC1的距离d=
|


AA1


n
|
|


n
|
=
|0+0+1|


3
=


3
3
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.
(1)设PD的中点为M,求证:AM平面PBC;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点,E为BC1的中点
(1)求证:OE平面A1AB;
(2)求二面角A-A1B-C1的正弦值.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成的角是(  )
A.90°B.60°C.45°D.30°
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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)证明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.
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如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求


BN
的模;
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
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