如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.(1)设PD的中点为M,求证:AM∥平面PBC;(2)求PA与

如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.(1)设PD的中点为M,求证:AM∥平面PBC;(2)求PA与

题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.
(1)设PD的中点为M,求证:AM平面PBC;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.
答案
(1)证明:如图建立空间直角坐标系,设PD=CD=2AD=2,BC=


2
a,则A(1,0,0),B(a,2-a,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,0,1).…(3分)
设平面PBC的一个法向量为


n
=(x,y,z)
,则


n


PB
=0


n


PC
=0

∴ax+y(2-a)-2z=0,2y-2z=0
令z=1得


n
=(1,1,1)
.…(7分)


AM
=(-1,0,1)
,所以


AM


n
=0
,即


AM


n

又AM⊄平面PBC
故AM平面PBC;.…(9分)
(2)


PA
=(1,0,-2)
,设PA与平面PBC所成角为α,
由直线与平面所成角的向量公式有sinα=
|


PA


n
|
|


PA
||


n
|
=
1


5
×


3
=


15
15
.                 …(12分)
举一反三
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点,E为BC1的中点
(1)求证:OE平面A1AB;
(2)求二面角A-A1B-C1的正弦值.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成的角是(  )
A.90°B.60°C.45°D.30°
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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)证明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.
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如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求


BN
的模;
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
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如图,等边△SAB与直角梯形ABCD垂直,AD⊥AB,BC⊥AB,AB=BC=2,AD=1.若E,F分别为AB,CD的中点.
(1)求|


SC
+


SD
|的值;
(2)求面SCD与面SAB所成的二面角大小.
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