证明:(1)∵A1A=A1C,且O为AC的中点, ∴A1O⊥AC. 又侧面AA1C1C⊥底面ABC,其交线为AC,且A1O∈平面AA1C1C, 所以A1O⊥底面ABC.…..(2分) 以O为坐标原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得:O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C(0,1,0),C1(0,2,),B(1,0,0),E(,1,).则有:=(0,1,-),=(0,1,),=(1,1,0). 设平面AA1B的一个法向量为=(x,y,z),…..(4分) 则有{,即{, 令y=1,得x=-1,z=-, 所以=(-1,1,-). 又知=(,1,),…..(6分) ∴•=0 ∴OE∥平面A1AB.…..(7分) (2).设平面A1BC1的一个法向量为=(x,y,z), 又知=(0,2,0),=(1,0,-) 由{得{ 可得=(,0,1)…..(9分) 则cos〈,>==-,…..(11分) 所以二面角A-A1B-C1的正弦值为.…..(12分)
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