如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥平面A1ABB1,AB=BC=2,AA1=22.(1)求证:BC⊥平面A1ABB1;(2)求直线A1B

如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥平面A1ABB1,AB=BC=2,AA1=22.(1)求证:BC⊥平面A1ABB1;(2)求直线A1B

题型:不详难度:来源:
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥平面A1ABB1,AB=BC=2,AA1=2


2

(1)求证:BC⊥平面A1ABB1
(2)求直线A1B与平面A1AC成角的正弦值.
答案
(1)∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥平面A1ABB1
∴BC⊥AB,BC⊥BB1
又∵AB∩BB1=B,
∴BC⊥平面A1ABB1
(2)以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥平面A1ABB1,AB=BC=2,AA1=2


2

A1(2,0,2


2
)
,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),


AA1
=(0,0,2


2
),


AC
=(-2,2,0),


A1B
=(0,2,-2


2

设平面A1AC的法向量为


n
=(x,y,z),则


n


AA1
=0


n


AC
=0,





2


2
z=0
-2x+2y=0
,解得


n
=(1,1,0),
设直线A1B与平面A1AC成角为θ,
则sinθ=|cos<


n


A1B
>|=|
0+2+0


2


12
|=


6
6

举一反三
如图,在三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,SA=SC=2


3
,M,N分别为AB,SB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小的正切值.
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如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E,F分别为线段PB,PC的中点,且AD=4,PA=AB=2
(1)求直线EC和面PAD所成的角
(2)求点P到平面AFD的距离.
题型:不详难度:| 查看答案
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=2


2
,则AC1与面BDD1所成角的大小是______.
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在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.
(1)求AC1的长;
(2)求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值.
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在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.
(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;
(2)求二面角E-AF-B的余弦值.
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