四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=2，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD

题型：不详难度：来源：

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=

2

，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若

PQ

PC

=λ，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．

答案

（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接OP，OB，BD．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．…（1分）
因为菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．…（2分）
因为BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
因为侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．…（6分）
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则D（-1，0，0），E(-1，

3

，0)，P（0，0，1），C(-2，

3

，0)，
因为Q为PC中点，所以Q(-1，

3

2

，

1

2

)．…（8分）
所以

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，所以平面DEQ的法向量为

n1

=(1，0，0)．
因为

DC

=(-1，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，
设平面DQC的法向量为

n2

=(x，y，z)，则

DC • n2 =0 DQ • n2 =0

，∴

-x+ 3 y=0 3 2 y+ 1 2 z=0.

令x=

3

，则y=1，z=-

3

，即

n2

=(

3

，1，-

3

)．…（9分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

．
由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为

21

7

．…（10分）
（Ⅲ）因为

PQ

PC

=λ，所以

PQ

=λ

PC

，
由（Ⅱ）知

PC

=(-2，

3

，-1)，

PA

=(1，0，-1)，
若设Q（x，y，z），则

PQ

=(x，y，z-1)，
由

PQ

=λ

PC

，得

x=-2λ y= 3 λ z=-λ+1

，
在平面DEQ中，

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(x+1，y，z)=(1-2λ，

3

λ，1-λ)，
所以平面DEQ法向量为

n1

=(1-λ，0，2λ-1)，…（12分）
又因为PA∥平面DEQ，所以

PA

•

n1

=0，…（13分）
即（1-λ）+（-1）（2λ-1）=0，得λ=

2

3

．
所以，当λ=

2

3

时，PA∥平面DEQ．…（14分）