(1)证明:如图所示,连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又AC∩BD=O. ∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. (2)∵PA⊥底面ABCD,∴PA=2a是四棱锥P-ACD的高. 而S△ACD=AD•CD=a2. ∴V四棱锥P-ACD=S△ACD•PA=•a2•2a=a3. (3)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,2a). 则=(0,a,0),=(a,a,-2a),=(a,0,0). 设平面PAC的法向量为=(x,y,z),则,令x=2,则y=0,z=1,∴=(2,0,1). 同理可得平面PCD的法向量=(0,2,1). ∴cos<,>===. 由图形可知:二面角B-PC-D的平面角是钝角,故其余弦值为-. |