在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点（1）求证：D1B1⊥AE；（2）求D1B1与平面ABE所成角θ的正弦值．

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在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（1）求证：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

答案

（1）如图建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（02，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），B₁（2，2，2）
所以

D1B1

=(2，2，0)，

=(-2，2，1)
∵

D1B1

•

=0
∴

D1B1

⊥

∴D₁B₁⊥AE
求出（2）设平面ABE的法向量

=(a，b，1)
∵

=(0，2，0)，

=(-2，2，1)
∴

2b=0

-2a+2b+1=0

解得a=

，b=0
∴

，0，1)
∴sinθ=|

D1B1

•

D1B1

举一反三

如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=

PA，F为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）若PE=

，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

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[理]如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB内一点，

HC1

={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．
[文]若数列{a_n}的通项公式an=

(n+1)2

(n∈N+)，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推测f（n）的表达式；
（3）证明（2）中你的结论．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，点E在棱CD上，且CE=

CD．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在点P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值为

，求棱AB的长．

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已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面AA′D′D所成角的大小．

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已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=

CD=1，PD⊥面ABCD，PD=

，E是PC的中点
（1）证明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

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