(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵A1B1⊥面A1D1DA, ∴A1B1⊥AD1. 在矩形A1D1DA中,∵AA1=AD=2, ∴AD1⊥A1D. 又A1D∩A1B1=A1, ∴AD1⊥平面A1B1D. (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以D1为原点建立空间直角坐标系D1-xyz. 依题意可知,D1(0,0,0),A1(2,0,0),D(0,0,2),A(2,0,2), 设AB的长为x,则C1(0,x,0),B1(2,x,0),C(0,x,2),E(0,x,2). 假设在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE. 设点P(2,0,y),则=(2,0,y-2),=(0,0,y-2). 易知=(-2,-x,2),=(-2,x,0). 设平面B1AE的一个法向量为n=(a,b,c), 则,即. 令b=3得,a=x,c=x,∴=(x,3,x). ∵DP∥平面B1AE,∴•=0且DP⊄平面B1AE. 得2x+(y-2)•x=0,∴y=. ∴=(0,0,-),||=, ∴AP的长为. (3)∵CD∥A1B1,且点E∈CD, ∴平面A1B1E、平面A1B1D与面A1B1CD是同一个平面. 由(1)可知,AD1⊥面A1B1D, ∴=(2,0,2)是平面A1B1E的一个法向量. 由(2)可知,平面B1AE的一个法向量为n=(x,3,x). ∵二面角A-B1E-A1的余弦值为, ∴cosθ===,解得x=3. 故AB的长为3. |