凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色.问:对怎样的n,存在一种染色方式,使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为
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凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色.问:对怎样的n,存在一种染色方式,使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为
题型:不详
难度:
来源:
凸
边形
中的每条边和每条对角线都被染为
n
种颜色中的一种颜色.问:对怎样的
n
,存在一种染色方式,使得对于这
n
种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为多边形
的顶点,且它的3条边分别被染为这3种颜色?
答案
见解析
解析
当
为奇数时,存在合乎要求的染法;当
为偶数时,不存在所述的染法。
每3个顶点形成一个三角形,三角形的个数为
个,而颜色的三三搭配也刚好有
种,所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合,即形成一一对应.
我们将多边形的边与对角线都称为线段.对于每一种颜色,其余的颜色形成
种搭配,所以每种颜色的线段(边或对角线)都应出现在
个三角形中,这表明在合乎要求的染法中,各种颜色的线段条数相等.所以每种颜色的线段都应当有
条.
当
为偶数时,
不是整数,所以不可能存在合乎条件的染法.下设
为奇数,我们来给出一种染法,并证明它满足题中条件.自某个顶点开始,按顺时针方向将凸
边形的各个顶点依次记为
.对于
,按
理解顶点
.再将
种颜色分别记为颜色
.
将边
染为颜色
,其中
.再对每个
,都将线段(对角线)
染为颜色
,其中
.于是每种颜色的线段都刚好有
条.注意,在我们的染色方法之下,线段
与
同色,当且仅当
. ①
因此,对任何
,任何
,线段
都不与
同色.换言之,如果
. ②
则线段
都不与
同色.
任取两个三角形
和
,如果它们之间至多只有一条边同色,当然它们不对应相同的颜色组合.如果它们之间有两条边分别同色,我们来证明第3条边必不同颜色.为确定起见,不妨设
与
同色.
情形1:如果
与
也同色,则由①知
,
,
将二式相减,得
,故由②知
不与
同色.
情形2:如果
与
也同色,则亦由①知
,
,
将二式相减,亦得
,亦由②知
与
不同色.总之,
与
对应不同的颜色组合.
举一反三
给定整数
,证明:存在
n
个互不相同的正整数组成的集合
S
,使得对
S
的任意两个不同的非空子集
A
,
B
,数
与
是互素的合数.(这里
与
分别表示有限数集
的所有元素之和及元素个数.)
题型:不详
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,当
时,有
,
请给予证明.
题型:不详
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对任意实数x,y,定义运算
,其中
为常数,等号右边的运算是通常意义的加乘运算,现已知
,
,且有一个非零实数m,使得对任意实数x,都有
,则
______________。
题型:不详
难度:
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据2005年3月5日十届人大三次会议《政府工作报告》,2004年城镇居民人均可支配收入9422元,农村居民人均纯收入2936元,扣除价格因素,分别比上一年增长7.7%和6.8%。要使2015年农村居民人均纯收入达到城镇居民人均可支配收入的现有水平,则扣除价格因素,从2005年开始农村居民人均纯收入的年平均增长率至少应提高____%(精确到0.1)。
题型:不详
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.已知f(x)=
(x≠-
,a>0),且f(1)=log
16
2,f(-2)=1.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)已知数列{x
n
}的项满足x
n
=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x
1
,x
2
,x
3
,x
4
;
(3)猜想{x
n
}的通项.
题型:不详
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