给定整数,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数 与 是互素的合数.(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素

给定整数,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数 与 是互素的合数.(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素

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给定整数,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集AB,数
 与 
是互素的合数.(这里分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数.)
答案
见解析
解析
我们用表示有限数集X中元素的算术平均.
第一步,我们证明,正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集AB,有
证明:对任意,设正整数k满足
,                        ①
并设l是使的最小正整数.我们首先证明必有
事实上,设A中最大的数,则由,易知A中至多有个元素,即,故.又由的定义知,故由①知.特别地有
此外,显然,故由l的定义可知.于是我们有
,则;否则有,则


由于A中最大元,故上式表明.结合即知
现在,若有的两个不同的非空子集AB,使得,则由上述证明知,故,但这等式两边分别是AB的元素和,利用易知必须A=B,矛盾.
第二步,设K是一个固定的正整数,,我们证明,对任何正整数x,正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集AB,数是两个互素的整数.
事实上,由的定义易知,有的两个子集,满足,且
.           ②
显然都是整数,故由上式知都是正整数.
现在设正整数d的一个公约数,则d的倍数,
故由②可知,但由K的选取及的构作可知,是小于K的非零整数,故它是的约数,从而.再结合及②可知d=1,故互素.
第三步,我们证明,可选择正整数x,使得中的数都是合数.由于素数有无穷多个,
故可选择n个互不相同且均大于K的素数.将中元素记为
,且(对),
故由中国剩余定理可知,同余方程组

有正整数解.
任取这样一个解x,则相应的集合中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n元集合满足问题的全部要求.
举一反三
,当时,有
请给予证明.
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对任意实数x,y,定义运算,其中为常数,等号右边的运算是通常意义的加乘运算,现已知,且有一个非零实数m,使得对任意实数x,都有,则______________。
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据2005年3月5日十届人大三次会议《政府工作报告》,2004年城镇居民人均可支配收入9422元,农村居民人均纯收入2936元,扣除价格因素,分别比上一年增长7.7%和6.8%。要使2015年农村居民人均纯收入达到城镇居民人均可支配收入的现有水平,则扣除价格因素,从2005年开始农村居民人均纯收入的年平均增长率至少应提高____%(精确到0.1)。
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.已知f(x)=(x≠-,a>0),且f(1)=log162,f(-2)=1.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;
(3)猜想{xn}的通项.
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如图1,若射线OM,ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2,则=·;如图2,若不在同一平面内的射线OP,OQ和OR上分别存在点P1,P2,点Q1,Q2和点R1,R2,则类似的结论是什么?这个结论正确吗?说明理由.

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