设M是含有n个正整数的集合,如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和,则称集合M是n级好集合,(Ⅰ)判断集合{1,3,4,7,9}是否是5级好集合,并写出
题型:不详难度:来源:
设M是含有n个正整数的集合,如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和,则称集合M是n级好集合, (Ⅰ)判断集合{1,3,4,7,9}是否是5级好集合,并写出另外一个5级好集合,满足其最大元素不超过9; (Ⅱ)给定正整数a,设集合M={a,a+1,a+2,…a+k}是好集合,其中k为正整数,试求k的最大值,并说明理由; (Ⅲ)对于任意n级好集合M,求集合M中最大元素的最小值(用n表示). |
答案
(I)∵1+3=4∈M,∴M不是5级好集合. 集合{1,3,5,7,9}是5级好集合. (II)若a=1,则只能是M={1,2}; 若a=2,则只能是{2,3,4}; 若a=3,则只能是{3,4,5,6};…; 以此类推,只能是M={a,a+1,…,2a},因此k的最大值为2a-a=a. (III)对于任意n级好集合M,集合M最大元素的最小值为2n-2. 若最大元素为2n-3,将{1,2,…,2n-3}分为: t=(2n-3), t1=(1,2n-4), t2=(2,2n-5), … tn-2=(n-2,n-1). 则显然t1~tn-2这n-2组中每一组至多选择一个数, 故此时M中的运算个数至多为n-2+1=n-1<n,故当最大元素为2n-3时,不能取得M. 同理可证最大元素<2n-3时不满足题设条件. 当最大元素为2n-2时,取M={n-1,n,n+1,n+2,…,2n-2}.则此集合对任意n满足题意. 综上可知:对于任意n级好集合M,求集合M中最大元素的最小值为2n-2. |
举一反三
设S、V分别表示面积和体积,如△ABC面积用S△ABC表示,三棱锥O-ABC的体积用VO-ABC表示.对于命题:如果O是线段AB上一点,则||•+||•=.将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•=.将它类比到空间的情形应该是:若O是三棱锥A-BCD内一点,则有______. |
类比平面内直角三角形的勾股定理,在空间四面体P-ABC中,记底面△ABC的面积为S0,三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,若PA,PB,PC两两垂直,则有结论______. |
我们知道,在边长为2a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a,类比上述结论,在边长为3a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值______. |
下面几种推理是正确的合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质; (2)张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分; (3)三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内有和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)•180°; (4)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°.A.(1)(2) | B.(1)(3)(4) | C.(1)(2)(4) | D.(2)(4) |
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“金导电、铜导电、银导电、锡导电,所以铝也导电”,此推理方法是______(选填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”) |
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