已知两个正数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数

已知两个正数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数

题型:不详难度:来源:
已知两个正数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.
(1)若a=1,b=3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是______;
(2)若p>q>0,经过6次操作后扩充所得的数为(q+1)m(p+1)n-1(m,n为正整数),则m,n的值分别为______.
答案
(1)a=1,b=3,按规则操作三次,
第一次:c=ab+a+b=1×3+1+3=7
第二次,7>3>1所以有:c=3×7+3+7=31
第三次:31>7>3所以有:c=7×31+7+31=255
2、p>q>0 第一次得:c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)-1
因为c>p>q,所以第二次得:c2=(c1+1)(p+1)-1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)-1
所得新数大于任意旧数,所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)-1=(p+1)3(q+1)2-1
第四次可得:c4=(c3+1)(c2-1)-1=(p+1)5(q+1)3-1
故经过6次扩充,所得数为:(q+1)8(p+1)13-1
∴m=8,n=13
故答案为:255;8,13
举一反三
对于等差数列{an},有如下一个真命题:“若{an}是等差数列,且a1=0,s、t是互不相等的正整数,则(s-1)at-(t-1)as=0”.类比此命题,对于等比数列{bn},有如下一个真命题:若{bn}是等比数列,且b1=______,s、t是互不相等的正整数,则______.
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观察下列各式:1=0+1,2+3+4=1+8,5+6+7+8+9=8+27,…,猜想第5个等式应为______.
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下列关于复数的类比推理中,错误的是(  )
①复数的加减运算可以类比多项式的加减运算;
②由向量


a
的性质|


a
|2=


a
2类比复数z的性质|z|2=z2
③方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实数根的条件是b2-4ac>0,可以类比得到方程az2+bz+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
A.①③B.②④C.②③D.①④
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我们学过平面向量(二维向量)),空间向量(三位向量),二维、三维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量.n维向量可用 (x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设


a
=(a1,a2,a3,a4,…,an),设


b
=(b1,b2,b3,b4,…,bn),a与b夹角θ的余弦值为cosθ=
a1b1+a2b2+…+anbn


a21
+
a22
+…+
a2n


b21
+
b22
+…+
b2n
.当两个n维向量,


a
=(1,1,1,…,1),


b
=(-1,-1,1,1,…,1)时,cosθ=(  )
A.
n-1
n
B.
n-2
n
C.
n-3
n
D.
n-4
n
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在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则可得”(  )
A.|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2
B.S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCD
C.S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2
D.|AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|2
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