①(1)∵a1=1,an+1=(n∈N+), ∴a2==, a3==, a4==. ∴猜想数列{an}的通项公式an=. (2)用数学归纳法证明an=. 当n=1时,a1==,成立. 假设当n=k时,an=成立,即ak=. 则当n=k+1时,ak+1== ===,也成立. 故an=. ②证明:假设存在符合题意的常数a,b,c, 在等式1•22+2•32++n(n+1)2 =(an2+bn+c)中, 令n=1,得4=(a+b+c)① 令n=2,得22=(4a+2b+c)② 令n=3,得70=9a+3b+c③ 由①②③解得a=3,b=11,c=10, 于是,对于n=1,2,3都有 1•22+2•32++n(n+1)2=(3n2+11n+10)(*)成立. 下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立. (1)当n=1时,由上述知,(*)成立. (2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立, 即1•22+2•32++k(k+1)2 =•(3k2+11k+10), 那么当n=k+1时, 1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 =(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 =(3k2+5k+12k+24) =[3(k+1)2+11(k+1)+10], 由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立. 综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立. |