将n个正整数1,2,3,…,n (n∈N*)分成两组,使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数,且这两组数中没有相同的数.那么n的最大值是______.
题型:不详难度:来源:
将n个正整数1,2,3,…,n (n∈N*)分成两组,使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数,且这两组数中没有相同的数.那么n的最大值是______. |
答案
{1,2,3,4,5…n}为了将这些分成两组,使得每组中任意两数之和都不是完全数,那么将某一平方数表示成两个数的和之后,这两个数必不能分在同一组.比如9=2+7,那么2、7必须要分在不同的组. 我们假设分成的这两组数是 A={a1,a2…ai}, B={b1,b2,…bj}, 那么必有 ak∈A,而m2-ak≠ak时,必有 {m2-ak}∈B (其中m=1,2,3,4,5…), 同样地,也必有bk∈B时,而m2-bk≠bk时,必有 {m2-bk}∈A (m=1,2,3,4,5…), 这样,不失一般性,我们假设2分在A组,即 a1=2, 那么 {m2-2}∈B b1=32-2=7, b2=42-2=14, b3=52-2=23 同样地,当 b1=7时 {m2-7}∈A,即 {42-7,52-7,62-7…}∈A, 这样,我们有: A={1,2,9,11,4,6,8,13} B={7,14,5,12,3,10} 这种分组方案是不可调整的,就是说,无论从A取什么数到B,B中都会出现两个数的和是完全平方数,同样地,也不能从B中取某数到A中. 所以,n的最大值是14. 故答案为:14. |
举一反三
根据条件:a、b、c满足c<b<a,且a+b+c=0,下列推理正确的是______(填上序号)①ac(a-c)>0,②c(b-a)<0,③cb2≤ab2,④ab>ac. |
(任选一题) ①在数列{an}中,已知a1=1,an+1=(n∈N+). (1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式; (2)用适当的方法证明你的猜想. ②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立? 并证明你的结论. |
“无理数是无限小数,而(=0.16666…)是无限小数,所以是无理数.”这个推理是______推理(在“归纳”、“类比”、“演绎”中选择填空) |
《论语•学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )A.类比推理 | B.归纳推理 | C.演绎推理 | D.一次三段论 | 设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对于任意的a,b∈S,有a*( b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是( )A.b*( b*b)=b | B.[a*( b*a)]*( a*b)=a | C.( a*b)*a=a | D.( a*b)*[b*( a*b)]=b |
最新试题
热门考点
|
|