如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证:A,E,F, D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证:A,E,F, D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边

题型:不详难度:来源:
如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.

(Ⅰ)求证:A,E,F, D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
解析

试题分析:(Ⅰ)根据圆内接四边形判定定理,只需说明对角互补即可,由已知数量关系,可证明,故,所以,所以四点共圆;(Ⅱ)四边形的外接圆问题 可转化为其中三个顶点确定的外接圆问题解决,取的中点,连接则容易证
,则的外接圆半径为,也是四边形的外接圆半径.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵, ∴ , ∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴, 即,所以四点共圆.
(Ⅱ)解:如图, 取的中点,连接,则, ∵, ∴,

,∴,又, ∴为正三角形, ∴,即, 所以点外接圆的圆心,且圆G的半径为2. 由于四点共圆,即四点共圆,其半径为.
举一反三
如图3所示,在边长为的正方形中,有一束光线从点射出,到点反射,,之后会不断地被正方形的各边反射,当光线又回到点时,(1)光线被正方形各边一共反射了________次;(2)光线所走的总路程为_______________.

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如图1,在平行四边形中,点上且交于点,则           .

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