选修4-1:几何证明选讲如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(Ⅰ)证明:A、E、F、M四点共圆;(Ⅱ)证明:AC2

选修4-1:几何证明选讲如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(Ⅰ)证明:A、E、F、M四点共圆;(Ⅱ)证明:AC2

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选修4-1:几何证明选讲
如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.
(Ⅰ)证明:A、E、F、M四点共圆;
(Ⅱ)证明:AC2+BF•BM=AB2
答案
证明:(I)如图所示.
连接AM,∵AB是⊙O的直径,∴∠AMB=90°.
∴∠AMB+∠AEF=180°,
∴A、E、F、M四点共圆;
(II)连接AC,BC.
由A、E、F、M四点共圆,∴BF•BM=BE•BA.
连接AC,BC.则∠ACB=90°.
又CD⊥AB.
∴AC2=AE•AB.
∴AC2+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB2
举一反三
如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=(  )
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A.3B.4C.5D.6
如图,圆心角∠AOB=120°,P是
AB
上任一点(不与A,B重合),点C在AP的延长线上,则∠BPC等于 ______.
选修4-1:几何证明选讲
如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.
(Ⅰ)证明:C,B,D,E四点共圆;
(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.
如图所示,AB与CD是⊙O的直径,AB⊥CD,P是AB延长线上一点,连PC交⊙O于点E,连DE交AB于点F,若AB=2BP=4,则PF=______.