如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2

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如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=

24

5

，求BD和BC的长．

答案

（1）证明：连接OC
∵AC平分∠EAB
∴∠EAC=∠BAC
又在圆中OA=OC
∴∠AC0=∠BAC
∴∠EAC=∠ACO
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）
则由AE⊥DC知
OC⊥DC
即DE是⊙O的切线．
（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°
∴△DCO∽△DEA
∴BD=2
∵Rt△EAC∽Rt△CAB．
∴AC²=

144

5

由勾股定理得
BC=

6 5

5

．