如图,已知AB圆O的直径,C、D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.(Ⅰ)求证:C是劣弧BD的中点;(Ⅱ)求证:BF=FG

如图,已知AB圆O的直径,C、D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.(Ⅰ)求证:C是劣弧BD的中点;(Ⅱ)求证:BF=FG

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB圆O的直径,C、D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
(Ⅰ)求证:C是劣弧BD的中点;
(Ⅱ)求证:BF=FG.
答案
(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∠ACB=∠ADB=
π
2

∵CE⊥AB
∠CEA=
π
2

∠CBA=
π
2
-∠CAB,∠ACE=
π
2
-∠CAB

∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∠DGA=∠ABC∴
π
2
-∠DGA=
π
2
-∠ABC

∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点(5分)
(II)∵∠GBC=
π
2
-∠CGB,∠FCB=
π
2
-∠GCF

∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证:CF=GF
∴BF=FG(10分)
举一反三
⊙O的两条弦AB、CD相交于点P,已知AP=2cm,BP=6cm,CP:PD=1:3,则CD=______.
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如图,圆O的直径AB=6,CD是圆O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,求CD及∠CBD.
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(几何证明选讲选做题)如图,半径为2的⊙O中,∠AOB=90°,D为OB的中点,AD的延长线交⊙O于点E,则线段DE的长为______.
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已知:如图,一个圆的两条弦AB和CE相交于点D,BE=2,BC=2BD=2


3
,∠1=∠2则EC=______,∠CBE=______.
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如图,四边形ABCD内接于⊙O,
AB
=
AD
,过A点的切线交CB的延长线于E点.求证:AB2=BE•CD.
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