试题分析:(1)连接AB,在EA的延长线上取点F,由弦切角定理可得∠FAC=∠ABC,而∠FAC=∠DAE,(对顶角)证得∠ABC=∠DAE,然后内接四边形的性质证得∠ABC=∠ADE,即得∠DAE=∠ADE.所以EA=ED,由切割线定理可得 ,即 . (2)直线CA与⊙O2只有一个公共点,所以直线CA与⊙O2相切,由弦切角定理知: 然后证明 ,即AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径.最后根据切割线定理证得AE的长. 试题解析:(1)连接AB,在EA的延长线上取点F,如图①所示. ∵AE是⊙O1的切线,切点为A, ∴∠FAC=∠ABC,.∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角, ∴∠ABC=∠ADE,∴∠DAE=∠ADE.∴EA=ED,∵ ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191108/20191108001523-40198.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191108/20191108001524-25079.jpg) (2)当点D与点A重合时,直线CA与⊙O2只有一个公共点, 所以直线CA与⊙O2相切.如图②所示,由弦切角定理知:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191108/20191108001524-76238.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191108/20191108001524-10070.png) ∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径. 8分 ∴由切割线定理知:EA2=BE·CE,而CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA2=6×8=48,AE= .故⊙O2的直径为 . 10分 |