试题分析:利用二倍角公式,利用换元法,将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立,利用二次函数的零点分布进行讨论,从而得出的最大值,但是在对时的情况下,主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论,再将问题转化为的条件下,求的最大值, 试题解析:由题意知, 令,,则当,恒成立,开口向上, ①当时,,不满足,恒成立, ②当时,则必有 (1) 当对称轴时,即,也即时,有, 则,,则,当,时,. 当对称轴时,即,也即时, 则必有,即,又由(1)知, 则由于,故只需成立即可, 问题转化为的条件下,求的最大值,然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发,分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值. 法一:(三角换元)把条件配方得:, ,所以, ; 法二:(导数) 令 则即求函数的导数,椭圆的上半部分
; 法三:(柯西不等式)由柯西不等式可知:
,当且仅当,即及时等号成立.即当时,最大值为2. 综上可知. |