课本小结与复习的参考例题中,给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式:已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,则|ac+
题型:不详难度:来源:
课本小结与复习的参考例题中,给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式:已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,则|ac+bd|≤1.这就是著名的柯西(Cauchy.法国)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),等号当且仅当ad=bc时成立. 请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明. |
答案
数学语言简洁地叙述柯西不等式: a,b,c,d∈R,有:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),等号当且仅当ad=bc时成立; 中文语言简洁地叙述柯西不等式: 两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方.取等号的条件是两列数对应成比例. 二维形式的证明:(a2+b2)(c2+d2)(a,b,c,d∈R)=a2•c2+b2•d2+a2•d2+b2 •c2 =a2•c2+2abcd+b2•d2+a2•d2 -2abcd+b2•c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 2≥(ac+bd) 2, 等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立. |
举一反三
(1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2; (2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值. |
设α,β,γ 都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明 (1)sin2α+sin2β+sin2γ≥; (2)tan2α+tan2β+tan2 γ≥. |
已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10. (1)求证:++≥5; (2)求9x2+9y2+z2的最小值. |
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