(1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2;(2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a
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(1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2; (2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值. |
答案
(1)∵
| =(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a+b)2=(a+b)2x1x2=x1x2 |
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(∵a+b=1). (2)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2; 即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2 由条件可得,5-a2≥(3-a)2; 解得,1≤a≤2当且仅当==时等号成立, 代入b=1,c=,d=时, amax=2b=1,c=,d=时amin=1. |
举一反三
设α,β,γ 都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明 (1)sin2α+sin2β+sin2γ≥; (2)tan2α+tan2β+tan2 γ≥. |
已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10. (1)求证:++≥5; (2)求9x2+9y2+z2的最小值. |
设=(1,1,-2),=(x,y,z),若x2+y2+z2=16,则•的最大值为______. |
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