(选做题)设a，b，c均为正实数．（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）求证：．

题型：期末题难度：来源：

(选做题)设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：．

答案

解:（1）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，当且仅当a=b=c= 时等号成立，
∴a²+b²+c² 的最小值为  ． 
（2）∵a，b，c均为正实数，
∴可得  （  + ）≥ ≥ ，
同理  （  + ）≥ ，  （  + ）≥ ，
三个不等式相加得 ，
当且仅当a=b=c时等号成立．