已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为______．
题型：湖南难度：来源：
| 已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为______． |
答案
∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12 |
举一反三
| 已知+=1(a＞b＞0)，则a2+b2与（x+y）2的大小关系为 ______． |
| 设x+y+z=1，求F=2x2+3y2+z2的最小值． |
| 若a2+b2+c2=1，则a+2b+3c的最大值为______． |
| （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则++的最大值为______． |
| x+y+z=1，则2x2+3y2+z2的最小值为（ ） |
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