已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.

已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.

题型:湖南难度:来源:
已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.
答案
∵a+2b+3c=6,
∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]
化简得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2
∴a2+4b2+9c2≥12,
当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=
2
3
时等号成立
由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=
2
3
时,a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为:12
举一反三
已知
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,则a2+b2与(x+y)2的大小关系为 ______.
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设x+y+z=1,求F=2x2+3y2+z2的最小值.
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若a2+b2+c2=1,则a+2b+3c的最大值为______.
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(不等式选讲选做题)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则


3a+1
+


3b+1
+


3c+1
的最大值为______.
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x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为(  )
A.1B.
3
4
C.
6
11
D.
5
8
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