若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:a1b1+a2b2+…+anbnn≤(a1+a2+…+ann)
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若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:a1b1+a2b2+…+anbnn≤(a1+a2+…+ann)
题型:不详
难度:
来源:
若a
1
≤a
2
≤…≤a
n
,而b
1
≥b
2
≥…≥b
n
或a
1
≥a
2
≥…≥a
n
而b
1
≤b
2
≤…≤b
n
,证明:
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+…+
a
n
b
n
n
≤(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
n
)•(
b
1
+
b
2
+…+
b
n
n
).当且仅当a
1
=a
2
=…=a
n
或b
1
=b
2
=…=b
n
时等号成立.
答案
证明 不妨设a
1
≤a
2
≤…≤a
n
,b
1
≥b
2
≥…≥b
n
.
则由排序原理得:
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
≤a
1
b
2
+a
2
b
3
+…+a
n
b
1
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
≤a
1
b
3
+a
2
b
4
+…+a
n-1
b
1
+a
n
b
2
…
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
≤a
1
b
n
+a
2
b
1
+…+a
n
b
n-1
.
将上述n个式子相加,得:n(a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
)
≤(a
1
+a
2
+…+a
n
)(b
1
+b
2
+…+b
n
)
上式两边除以n
2
,得:
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+…+
a
n
b
n
n
≤
(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
n
)
(
b
1
+
b
2
+…+
b
n
n
)
等号当且仅当a
1
=a
2
=…=a
n
或b
1
=b
2
=…=b
n
时成立.
举一反三
设a
1
,a
2
,…,a
n
为实数,证明:
a
1
+
a
2
+…+
a
n
n
≤
a
21
+a
22
+…+
a
2n
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设a
1
,a
2
,…,a
n
为正数,求证:
a
21
a
2
+
a
22
a
3
+…+
a
2n-1
a
n
+
a
2n
a
1
≥a
1
+a
2
+…+a
n
.
题型:不详
难度:
|
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设a,b,c是正实数,求证:a
a
b
b
c
c
≥(abc)
a+b+c
3
.
题型:不详
难度:
|
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若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
题型:不详
难度:
|
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(不等式选讲)
已知
a
>0,
b
>0,
c
>0,
abc
=1,试证明:
.
题型:不详
难度:
|
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