设a1，a2，…，an为实数，证明：a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn．

题型：不详难度：来源：

设a₁，a₂，…，a_n为实数，证明：

a1+a2+…+an

n

≤

a 21 +a 22 +…+ a 2n n

．

答案

证明：不妨设a₁≤a₂≤…≤a_n，则由排序原理得：
a₁²+a₂²+…+a_n²=a₁a₁+a₂a₂+…+a_na_n
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a₃+a₂a₄+…+a_n-1a₁+a_na₂
…
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a_n+a₂a₁+…+a_na_n-1．
将上述n个式子相加，得：n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤（a₁+a₂+…+a_n）²，
上式两边除以n²，并开方可得：

a1+a2+…+an

n

≤

a 21 +a 22 +…+ a 2n n

．