已知矩阵A=,向量α=.(1)求A的特征值λ1,λ2和对应的特征向量α1,α2.(2)计算A5α的值.

题型：不详难度：来源：

已知矩阵A=,向量α=.
(1)求A的特征值λ₁,λ₂和对应的特征向量α₁,α₂.
(2)计算A⁵α的值.

答案

(1) 当λ₁=2时,解得α₁=(t≠0),当λ₂=3时,解得α₂=(t≠0)
(2) A⁵α=+=(t≠0)

解析

(1)矩阵A的特征多项式为
λ²-5λ+6,由λ²-5λ+6=0,解得λ₁=2,λ₂=3.
当λ₁=2时,解得α₁=(t≠0),当λ₂=3时,解得α₂=(t≠0).
(2)由α=mα₁+nα₂得解得m=3,n=1.
则A⁵α=A⁵(3α₁+α₂)
=3(A⁵α₁)+A⁵α₂
=3(α₁)+α₂
=3×2⁵α₁+3⁵α₂
=+=(t≠0).