某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,
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某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,
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某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为
米,高为
米,体积为
立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为
元(
为圆周率).
(1)将
表示成
的函数
,并求该函数的定义域;
(2)讨论函数
的单调性,并确定
和
为何值时该蓄水池的体积最大.
答案
(1)
,函数
的定义域为
;(2)当
时,函数
为增函数,当
,函数
为减函数,所以当
时该蓄水池的体积最大.
解析
试题分析:(1)先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积,进而得出总造价,依条件得等式
,从中算出
,进而可计算
,再由
可得
;(2)通过求导
,求出函数
在
内的极值点,由导数的正负确定函数的单调性,进而得出
取得最大值时
的值.
(1)∵蓄水池的侧面积的建造成本为
元,底面积成本为
元
∴蓄水池的总建造成本为
元
所以即
∴
∴
又由
可得
故函数
的定义域为
6分
(2)由(1)中
,
可得
(
)
令
,则
∴当
时,
,函数
为增函数
当
,函数
为减函数
所以当
时该蓄水池的体积最大 12分.
举一反三
若函数
为定义域
上的单调函数,且存在区间
(其中
),使得当
时,
的取值范围恰为
,则称函数
是
上的正函数.若函数
是
上的正函数,则实数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
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已知
,且
,则
等于
.
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已知函数
满足对任意的
恒有
,且当
时,
.
(1)求
的值;
(2)判断
的单调性
(3)若
,解不等式
.
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(
).
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在
上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设
.
(1)若广告商要求包装盒侧面积
最大,试问
应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积
最大,试问
应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
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