试题分析:(1)由(是自然对数的底数,),且,即可求出.再根据导函数的值即可求出单调区间. (2)对任意,恒有成立,通过去分母,整理成两个函数的单调性的问题即,则在上单调递增,又,再通过求导即可得到m的取值范围. (3)若正实数满足,,则.通过代入函数关系式消元再用基本不等式即可得到结论.当,且是互不相等的实数时,不等式是否仍然成立.有数学归纳法证明,当n=k+1时利用转化为k项的形式.再通过构造即可得到结论. (1)∵,,故. 1分 令得;令得. 3分 所以的单调递增区间为;单调递减区间为. 4分 (2)由变形得:. 5分 令函数,则在上单调递增. 6分 即在上恒成立. 7分 而(当且仅当时取“=”) 所以. 9分 (3)证明:不妨设,由得:
其中,故上式的符号由因式“”的符号确定. 令,则函数. ,其中,得,故.即在上单调递减,且.所以. 从而有成立. 该不等式能更进一步推广: 已知,是互不相等的实数,若正实数满足,则. 下面用数学归纳法加以证明: i)当时,由(2)证明可知上述不等式成立; ii)假设当时,上述不等式成立.即有:. 则当时,由得:,于是有: . 在该不等式的两边同时乘以正数可得:. 在此不等式的两边同时加上又可得:. 该不等式的左边再利用i)的结论可得:.整理即得:. 所以,当时,上述不等式仍然成立. 综上,对上述不等式都成立. 14分 |