定义在R上的函数f(x)满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2 014)=________.
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定义在R上的函数f(x)满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2 014)=________. |
答案
1 007 |
解析
令m=n=0,得f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2,所以f(0)=0;令m=0,n=1, 得f(0+12)=f(0)+2[f(1)]2, 由于f(1)≠0,所以f(1)=;令m=x,n=1,得f(x+12)=f(x)+2[f(1)]2, 所以f(x+1)=f(x)+2×2, 即f(x+1)=f(x)+, 这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为,公差为的等差数列,所以f(2 014)=+(2 014-1)×=1 007. |
举一反三
规定[t]为不超过t的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数x,令f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令f2(x)=f1[g(x)]. (1)若x=,分别求f1(x)和f2(x); (2)若f1(x)=1,f2(x)=3同时满足,求x的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. |
设则f(2 016)=( ) |
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