已知函数常数)满足.(1)求出的值,并就常数的不同取值讨论函数奇偶性;(2)若在区间上单调递减,求的最小值;(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:恰有一个

已知函数常数)满足.(1)求出的值,并就常数的不同取值讨论函数奇偶性;(2)若在区间上单调递减,求的最小值;(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:恰有一个

题型:不详难度:来源:
已知函数常数)满足.
(1)求出的值,并就常数的不同取值讨论函数奇偶性;
(2)若在区间上单调递减,求的最小值;
(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:恰有一个零点且存在递增的正整数数列,使得成立.
答案
(1)时是偶函数,时,非奇非偶函数;(2);(3)证明见解析.
解析

试题分析:(1)直接代入已知可求得,根据奇偶函数的定义可说明函数是奇(偶)函数,如果要说明它不是奇(偶)函数,可举例说明,即;(2)据题意,即当时,总有成立,变形整理可得,由于分母,故,即,注意到,从而,因此有;(3)在(2)的条件下,,理论上讲应用求出零点,由函数表达式可看出,当时,无零点,当时,函数是递增函数,如有零点,只有一个,解方程,即,根据零点存在定理确定出,这个三次方程具体的解求不出,但可变形为,想到无穷递缩等比数列的和,有,因此可取.证毕.
(1)由,解得.
从而,定义域为
时,对于定义域内的任意,有为偶函数  2分
时,从而不是奇函数;不是偶函数,非奇非偶.      4分
(2)对于任意的,总有恒成立,即,得.    6分
,从而.
,∴的最小值等于.      10分
(3)在(2)的条件下,.
时,恒成立,函数无零点.    12分
时,对于任意的,恒有
,所以函数上递增,又
是有一个零点.
综上恰有一个零点,且        15分
,得
,故
          18分
举一反三
下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程:区间内的任意实数与数轴上的线段(不包括端点)上的点一一对应(图一),将线段围成一个圆,使两端恰好重合(图二),再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为(图三).图三中直线轴交于点,由此得到一个函数,则下列命题中正确的序号是                   (     )

是偶函数;
在其定义域上是增函数;
的图像关于点对称.
A.(1)(3)(4)B.(1)(2)(3)
C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4).

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某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位:米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,为圆柱的高,为球的半径,).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元,半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该储油罐的建造费用最小时的的值.

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已知.
(1)当,时,若不等式恒成立,求的范围;
(2)试判断函数内零点的个数,并说明理由.
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(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2个小题满分8分。
已知.
(1)当,时,若不等式恒成立,求的范围;
(2)试证函数内存在零点.
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函数的部分图象如下,其中正确的是(      )

A                  B                  C                 D
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