(1)由题意可得f′(x)=2x, 所以过曲线上点(xn,f(xn))的切线方程为 y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),即y-(-4)=2xn(x-xn). 令y=0,得-(-4)=2xn(xn+1-xn). 即+4=2xnxn+1.显然xn≠0,∴xn+1=. (2) (必要性)若对一切正整数n,有xn+1≤xn,则x2≤x1, 即≤x1,∴≥4.而x1>0,即有x1≥2. (充分性)若x1≥2>0,由xn+1=, 用数学归纳法易得xn>0,从而xn+1=≥2=2(n≥1), 即xn≥2(n≥2).又x1≥2,∴xn≥2(n≥1). 于是xn+1-xn=-xn==≤0. 即xn+1≤xn对一切正整数n成立. (3)xn+1=,知xn+1+2=, 同理,xn+1-2=.故=()2. 从而lg=2lg,即an+1=2an.所以,数列{an}成等比数列, 故an=2n-1a1=2n-1·lg =2n-1lg 3, 即lg =2n-1lg 3.从而=32n-1,所以xn=. |