设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014)的值. |
答案
(1)见解析(2)f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].(3)1 |
解析
(1)证明:因为f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)解:因为x∈[2,4], 所以-x∈[-4,-2],4-x∈[0,2], 所以f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又f(4-x)=f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2+6x-8,即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解:因为f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1, 又f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=0, 所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=1. |
举一反三
设函数y=f(x)满足对任意的x∈R,f(x)≥0且f2(x+1)+f2(x)=9.已知当x∈[0,1)时,有f(x)=2-|4x-2|,则f =________. |
已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________. |
某同学从A地跑步到B地,随路程的增加速度减小.若以y表示该同学离B地的距离,x表示出发后的时间,则下列图象中较符合该同学走法的是____________.(填序号)
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函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得,则n的取值集合是________.
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