已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.(
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已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (2)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (3)对任意x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围. |
答案
(1) k≥45 (2) k≥-7 (3) k≥141 |
解析
(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k, 问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min≥0,x∈[-3,3]. 令h"(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1. ∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9, ∴h(x)min=k-45≥0,得k≥45. (2)据题意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立, ∴h(x)max≥0.∴h(x)max=k+7≥0,得k≥-7. (3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3], 易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21. ∴120-k≤-21,得k≥141. |
举一反三
已知函数f(x)=若函数y=f(x)-2有3个零点,则实数a的值为( ) |
“求方程x+x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=x+x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集是________. |
函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D使得=C,则称函数f(x)在D上的几何平均数为C.已知f(x)=x3,x∈[1,2],则函数f(x)=x3在[1,2]上的几何平均数为( )A. | B.2 | C.4 | D.2 |
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函数g(x)=x2-2 013x,若g(a)=g(b),a≠b,则g(a+b)=________. |
已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的最小值; (2)已知m∈R,命题p:关于x的不等式f(x)≥m2+2m-2对任意m∈R恒成立;q:函数y=(m2-1)x是增函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围. |
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