已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的

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已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m·2^t+2^1-t(t≥0,且m>0).
(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度.
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.

答案

(1) 经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.   (2) [,+∞)

解析

(1)若m=2,则θ=2·2^t+2^1-t=2(2^t+),
当θ=5时,2^t+=,
令2^t=x(x≥1),则x+=,即2x²-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),此时t=1,
所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.
(2)物体的温度总不低于2摄氏度,即θ≥2恒成立.
亦即m·2^t+≥2恒成立.
亦即m≥2(-)恒成立.
令=a,则0<a≤1.
∴m≥2(a-a²),由于a-a²≤,∴m≥.
因此当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是[,+∞).