如果函数满足在集合上的值域仍是集合,则把函数称为N函数.例如:就是N函数.(Ⅰ)判断下列函数:①,②,③中,哪些是N函数?(只需写出判断结果);(Ⅱ)判断函数是
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如果函数满足在集合上的值域仍是集合,则把函数称为N函数.例如:就是N函数.(Ⅰ)判断下列函数:①,②,③中,哪些是N函数?(只需写出判断结果);(Ⅱ)判断函数是
题型:不详
难度:
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如果函数
满足在集合
上的值域仍是集合
,则把函数
称为N函数.
例如:
就是N函数.
(Ⅰ)判断下列函数:①
,②
,③
中,哪些是N函数?(只需写出判断结果);
(Ⅱ)判断函数
是否为N函数,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对于任意实数
,函数
都不是N函数.
(注:“
”表示不超过
的最大整数)
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)是N函数;(Ⅲ)略
解析
试题分析:(Ⅰ)
的定义域为
时,值域不是集合
,例如值域中不含2。故
不是N函数 。
的定义域为
时,值域不是集合
,例如值域中不含2。故
不是N函数。当
时
,所以
是N函数。(Ⅱ)因为“
”表示不超过
的最大整数,所以
。设
,则
,所以
,解得
,因为
所以在
一定存在正整数
,即存在
满足
(Ⅲ)需对实数
在全体实数范围内进行讨论。若
为负时,函数
不是N函数;若函数
有最大值时,函数
不是N函数;若函数
的值是正数但不能取到所有正数时,函数
不是N函数。
试题解析:解:(Ⅰ)只有
是N函数. 3分
(Ⅱ)函数
是N函数.
证明如下:
显然,
,
. 4分
不妨设
,
由
可得
,
即
.
因为
,恒有
成立,
所以一定存在
,满足
,
所以设
,总存在
满足
,
所以函数
是N函数. 8分
(Ⅲ)(1)当
时,有
,
所以函数
都不是N函数. 9分
(2)当
时,① 若
,有
,
所以函数
都不是N函数. 10分
② 若
,由指数函数性质易得
,
所以
,都有
所以函数
都不是N函数. 11分
③ 若
,令
,则
,
所以一定存在正整数
使得
,
所以
,使得
,
所以
.
又因为当
时,
,所以
;
当
时,
,所以
,
所以
,都有
,
所以函数
都不是N函数. 13分
综上所述,对于任意实数
,函数
都不是N函数.
举一反三
已知函数
.
(Ⅰ)若
,试判断
在定义域内的单调性;
(Ⅱ) 当
时,若
在
上有
个零点,求
的取值范围.
题型:不详
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|
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已知
,函数
在区间
上的最大值等于
,则
的值为
.
题型:不详
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|
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2
-y
2
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题型:不详
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函数
的零点所在的区间为
A.(-2,-l)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
题型:不详
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已知函数
,对任意
都有
,且
是增函数,则
题型:不详
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|
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