已知函数在处取得极值,且恰好是的一个零点.(Ⅰ)求实数的值,并写出函数的单调区间;(Ⅱ)设、分别是曲线在点和(其中)处的切线,且.①若与的倾斜角互补,求与的值;
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已知函数在处取得极值,且恰好是的一个零点.(Ⅰ)求实数的值,并写出函数的单调区间;(Ⅱ)设、分别是曲线在点和(其中)处的切线,且.①若与的倾斜角互补,求与的值;
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
在
处取得极值,且
恰好是
的一个零点.
(Ⅰ)求实数
的值,并写出函数
的单调区间;
(Ⅱ)设
、
分别是曲线
在点
和
(其中
)处的切线,且
.
①若
与
的倾斜角互补,求
与
的值;
②若
(其中
是自然对数的底数),求
的取值范围.
答案
(Ⅰ)增区间
,减区间
;(Ⅱ)①
,
;②
.
解析
试题分析:(Ⅰ)根据函数
在
处取得极值有
,以及
是函数
的一个零点,有
,由这两个等式列方程组求
和
,从而确定函数
,进而利用导数求函数
的单调增区间与减区间;(Ⅱ)①在(Ⅰ)函数
的解析式确定的基础上,由
得
,由
与
的倾斜角互补得到
以及
可以求出
与
的值;②根据
这个条件确定
与
的关系,再进行适当转化利用基本不等式或函数的最值的思想求
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)
,
由已知得:
得
3分
解得
. 4分
当
时,
,当
时,
,
所以函数
单调减区间是
,增区间是
. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,
依题意,直线
和
的斜率分别为
和
,
因为
,所以
,
所以
.(*)
①因为
与
的倾斜角互补,所以
,
即
,(**) 8分
由(*)(**),结合
,解得
,
,
即
,
. 10分
②因为
,所以
,
,
所以
,
所以
,当且仅当
时,等号成立.
又因为
,当且仅当
时,等号成立.
所以
. 14分
举一反三
已知定义在
上的函数
是周期为
的偶函数,当
时,
,如果直线
与曲线
恰有两个交点,则实数
的值是( )
A.
B.
C.
或
D.
或
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=
-lnx,则y=f(x)( )
A.在区间(
,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(
,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(
,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间(
,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
题型:不详
难度:
|
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对于函数
与
和区间D,如果存在
,使
,则称
是函数
与
在区间D上的“友好点”.现给出两个函数
①
,
②
,
③
,
④
,
其中在区间
上存在“友好点”的有( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
题型:不详
难度:
|
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若函数
对任意的
都有
,且
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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式子
满足
,则称
为轮换对称式.给出如下三个式子:①
; ②
;
③
是
的内角).
其中,为轮换对称式的个数是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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