对于定义在实数集上的两个函数,若存在一次函数使得,对任意的,都有,则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知(,为自然对数的底数),(1)求的递增区间;(2)当时

对于定义在实数集上的两个函数,若存在一次函数使得,对任意的,都有,则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知(,为自然对数的底数),(1)求的递增区间;(2)当时

题型:不详难度:来源:
对于定义在实数集上的两个函数,若存在一次函数使得,对任意的,都有,则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知为自然对数的底数),
(1)求的递增区间;
(2)当时,函数是否存在过点的“分界线”?若存在,求出函数的解析式,若不存在,请说明理由。
答案
(1)若递增区间为,若递增区间为,若,则递增区间为递增区间为(2)存在函数的图像是函数过点的“分界线”。
解析

试题分析:(1)

①若,则,此时的递增区间为
②若,则,此时的递增区间为
③若,则的递增区间为
④若,则,此时的递增区间为
(2)当时,,假设存在实数,使不等式恒成立,
得到恒成立,
,得
下面证明恒成立。

时,
时,
所以,即恒成立。
综上,存在函数的图像是函数过点的“分界线”。
点评:第一小题求单调区间针对于不同的值对应不同的极值点,因此需对值分情况讨论以求单调性;第二问在正确理解给定信息的基础上将问题转化为不等式恒成立问题,进而转化为函数最值,可利用导数这一工具求解
举一反三
已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1="3," x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,解关于x的不等式;
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f(x)是一次函数且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,则f(x)等于
A.B.36x-9C.D.9-36x

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(x,y)在映射f下的象是(xy,x+y),则点(2,3)在f下的象是          
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若f(10x)=x,则f(5)=         
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建造一间占 地面积为12m²的背面靠墙的猪圈,底面为长方形,猪圈正面的造价为每平方米12元,侧面的造价为每平方米80元,屋顶造价为1120元.如果墙高3m,且不计猪圈背面的费用,问:如何设计能使猪圈的总 造价最低?最低总造价是多少?
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