若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线
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若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线
题型:不详
难度:
来源:
若存在实常数
和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知
,
为自然对数的底数).
(1)求
的极值;
(2)函数
和
是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)当
时,
取极小值,其极小值为
(2)函数
和
存在唯一的隔离直线
解析
试题分析:(1)
,
.
当
时,
.
当
时,
,此时函数
递减;
当
时,
,此时函数
递增;
∴当
时,
取极小值,其极小值为
. …………………………………6分
(2)解法一:由(1)可知函数
和
的图象在
处有公共点,因此若存在
和
的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为
,则直线方程为
,即
.
由
,可得
当
时恒成立.
,
由
,得
.
下面证明
当
时恒成立.
令
,则
,
当
时,
.
当
时,
,此时函数
递增;
当
时,
,此时函数
递减;
∴当
时,
取极大值,其极大值为
.
从而
,即
恒成立.
∴函数
和
存在唯一的隔离直线
.……………12分
解法二: 由(1)可知当
时,
(当且仅当
时取等号) .
若存在
和
的隔离直线,则存在实常数
和
,使得
和
恒成立,
令
,则
且
,即
.
后面解题步骤同解法一.
点评:求函数极值要首先确定定义域,通过导数等于零找到极值点,但要说明是极大值还是极小值,第二问中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,这种转化思路是函数综合题中常用的思路,其中找到函数
和
的图象在
处有公共点是求解的关键
举一反三
设函数f(x)=
的最大值为M,最小值为N,那么M+N=
_________
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(
).
(1)若函数
在
处取得极大值,求
的值;
(2)
时,函数
图象上的点都在
所表示的区域内,求
的取值范围;
(3)证明:
,
.
题型:不详
难度:
|
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记
,
,…,
.若
,则
的值为
.
题型:不详
难度:
|
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若函数
在给定区间M上存在正数t,使得对于任意
,有
,且
,则称
为M上的t级类增函数。给出4个命题
①函数
上的3级类增函数
②函数
上的1级类增函数
③若函数
上的
级类增函数,则实数a的最小值为2
④设
是定义
在上的函数,且满足:1.对任意
,恒有
;2.对任意
,恒有
;3. 对任意
,
,若函数
是
上的t级类增函数,则实数t的取值范围为
。
以上命题中为真命题的是
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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