（本小题共8分）已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）=－2，求f（x）在[－

题型：不详难度：来源：

（本小题共8分）
已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）=－2，求f（x）在[－2，1]上的值域。

答案

[－4，2].

解析

试题分析：解：设x，x∈R，且x<x，则x－x>0，由条件当x>0时，f（x）>0
所以f（x－x）>0
又f（x）=f[（x－x）+x]=f（x－x）+f（x）>f（x）。
所以f（x）为增函数。
令y=－x，则f（0）=f（x）+f（－x）.
又令x=y=0得f（0）=0，所以f（－x）=－f（x），即f（x）为奇函数。
所以f（1）=－f（－1）=2，f（－2）=2f（－1）=－4.
所以f（x）在[－2，1]上的值域为[－4，2].                     8分
点评：根据题意利用定义法得到函数的单调性，进而求解函数的值域，属于基础题。