已知的定义域为,且恒有等式对任意的实数成立.(Ⅰ)试求的解析式;(Ⅱ)讨论在上的单调性,并用单调性定义予以证明.
题型:不详难度:来源:
已知的定义域为,且恒有等式对任意的实 数成立. (Ⅰ)试求的解析式; (Ⅱ)讨论在上的单调性,并用单调性定义予以证明. |
答案
(Ⅰ)f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3 (Ⅱ)函数在R上为减函数,证明见解析。 |
解析
本试题主要是考查了求解函数的解析式,以及函数单调性的证明。 (1)的定义域为,且恒有等式对任意的实数成立.,那么可以得到方程组,消元法得到结论。 (2)设出变量,运用定义法证明单调性。 解: 1、2f(x)+f(-x)+2^x=0 …………1 2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0 …………2 1式X2-2式得: 3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0 即:f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3 2、设x1<x2 可得: f(x1)-f(x2) =[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3 =[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3 因:x1<x2 所以有:-x1>-x2 ,x1+1<x2+1 所以:2^(-x1)>2^(-x2) 2^(x2+1)>2^(x1+1) 即:f(x1)-f(x2)>0 所以此函数在R上为减函数! |
举一反三
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